MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Să se rezolve sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡2(y)=5x2+y2=68\begin{cases} \log_2(x) + \log_2(y) = 5 \\ x^2 + y^2 = 68 \end{cases} cu x>0x > 0, y>0y > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aplicăm proprietatea logaritmilor: log⁡2(x)+log⁡2(y)=log⁡2(xy)\log_2(x) + \log_2(y) = \log_2(xy), deci xy=25=32xy = 2^5 = 32.
23 puncte
Din xy=32xy = 32 și x2+y2=68x^2 + y^2 = 68, avem (x+y)2=x2+y2+2xy=68+64=132(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 68 + 64 = 132, deci x+y=132=233x+y = \sqrt{132} = 2\sqrt{33} (deoarece x>0,y>0x>0, y>0).
33 puncte
xx și yy sunt rădăcinile ecuației t2−(x+y)t+xy=0t^2 - (x+y)t + xy = 0, adică t2−233t+32=0t^2 - 2\sqrt{33}t + 32 = 0. Discriminantul Δ=(233)2−4⋅32=132−128=4\Delta = (2\sqrt{33})^2 - 4 \cdot 32 = 132 - 128 = 4, deci Δ=2\sqrt{\Delta} = 2. Atunci t=233±22=33±1t = \frac{2\sqrt{33} \pm 2}{2} = \sqrt{33} \pm 1.
42 puncte
Soluțiile sunt x=33+1,y=33−1x = \sqrt{33} + 1, y = \sqrt{33} - 1 sau invers. Verificăm că x>0,y>0x>0, y>0 și că satisfac ecuațiile inițiale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.