MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, a>0a > 0. Știind că f(1)=1f(1) = 1, f(2)=2f(2) = 2 și că rădăcinile ecuației f(x)=0f(x)=0 sunt numere complexe conjugate cu modulul 2\sqrt{2}, determinați funcția ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din f(1)=1f(1)=1 și f(2)=2f(2)=2, avem ecuațiile: a+b+c=1a + b + c = 1 și 4a+2b+c=24a + 2b + c = 2.
24 puncte
Rădăcinile sunt complexe conjugate, deci fie z1=x+yiz_1 = x + yi și z2=x−yiz_2 = x - yi, cu ∣z1∣=x2+y2=2|z_1| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2}, deci x2+y2=2x^2 + y^2 = 2. Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor S=−ba=2xS = -\frac{b}{a} = 2x, produsul P=ca=x2+y2=2P = \frac{c}{a} = x^2 + y^2 = 2, deci c=2ac = 2a.
33 puncte
Înlocuim c=2ac = 2a în ecuațiile de la step 1: a+b+2a=1⇒3a+b=1a + b + 2a = 1 \Rightarrow 3a + b = 1 și 4a+2b+2a=2⇒6a+2b=2⇒3a+b=14a + 2b + 2a = 2 \Rightarrow 6a + 2b = 2 \Rightarrow 3a + b = 1. Ambele ecuații sunt identice, deci b=1−3ab = 1 - 3a. Pentru ca rădăcinile să fie complexe conjugate, discriminantul Δ=b2−4ac<0\Delta = b^2 - 4ac < 0. Calculăm Δ=(1−3a)2−4a(2a)=1−6a+9a2−8a2=1−6a+a2\Delta = (1-3a)^2 - 4a(2a) = 1 - 6a + 9a^2 - 8a^2 = 1 - 6a + a^2. Rezolvăm inecuația a2−6a+1<0a^2 - 6a + 1 < 0. Rădăcinile ecuației a2−6a+1=0a^2 - 6a + 1 = 0 sunt a=3±22a = 3 \pm 2\sqrt{2}. Deci pentru a∈(3−22,3+22)a \in (3-2\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2}), avem Δ<0\Delta < 0. Cum a>0a > 0, alegem o valoare convenabilă, de exemplu a=1a=1, atunci b=1−3=−2b=1-3= -2, c=2c=2, și funcția este f(x)=x2−2x+2f(x) = x^2 - 2x + 2. Verificare: f(1)=1−2+2=1f(1)=1-2+2=1, f(2)=4−4+2=2f(2)=4-4+2=2, iar rădăcinile ecuației x2−2x+2=0x^2-2x+2=0 sunt 1±i1 \pm i, cu modulul 12+12=2\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.