MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−(m+2)x+4f(x) = x^2 - (m+2)x + 4, unde m∈Rm \in \mathbb{R} este un parametru real. a) Determinați mm astfel încât vârful parabolei asociate funcției să se afle pe dreapta de ecuație y=−x+1y = -x + 1. b) Pentru mm găsit la punctul a), determinați intervalele pe care f(x)<0f(x) < 0. c) Pentru m=1m = 1, rezolvați inecuația f(x)≥0f(x) \ge 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Găsiți coordonatele vârfului: xV=m+22x_V = \frac{m+2}{2}, yV=f(xV)=16−(m+2)24y_V = f(x_V) = \frac{16 - (m+2)^2}{4}.
22 puncte
Impuneți condiția ca vârful să aparțină dreptei: yV=−xV+1y_V = -x_V + 1, adică 16−(m+2)24=−m+22+1\frac{16 - (m+2)^2}{4} = -\frac{m+2}{2} + 1. Rezolvați ecuația: înmulțiți cu 4, obțineți 16−(m+2)2=−2(m+2)+416 - (m+2)^2 = -2(m+2) + 4, simplificați la m2+2m−12=0m^2 + 2m - 12 = 0, cu soluțiile m=−1±13m = -1 \pm \sqrt{13}.
33 puncte
Pentru fiecare m=−1±13m = -1 \pm \sqrt{13}, calculați discriminantul: Δ=(m+2)2−16\Delta = (m+2)^2 - 16. Deoarece a=1>0a=1>0, funcția este negativă între rădăcini. Rădăcinile sunt x1,2=m+2±Δ2x_{1,2} = \frac{m+2 \pm \sqrt{\Delta}}{2}. Intervalele unde f(x)<0f(x) < 0 sunt (x1,x2)(x_1, x_2) pentru fiecare mm.
43 puncte
Pentru m=1m=1, f(x)=x2−3x+4f(x)=x^2 - 3x + 4. Calculați Δ=(−3)2−4⋅1⋅4=−7<0\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -7 < 0, iar a=1>0a=1>0, deci f(x)≥0f(x) \ge 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.