MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmice
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: log⁡3(9x−2)=x+log⁡3(2)\log_3(9^x - 2) = x + \log_3(2).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Stabilirea condițiilor de existență: 9x−2>09^x - 2 > 0 adică 9x>29^x > 2, deci x>log⁡92x > \log_9 2.
23 puncte
Aplicarea proprietăților logaritmilor: log⁡3(9x−2)=log⁡3(3x)+log⁡3(2)=log⁡3(2⋅3x)\log_3(9^x - 2) = \log_3(3^x) + \log_3(2) = \log_3(2 \cdot 3^x). Obținem ecuația 9x−2=2⋅3x9^x - 2 = 2 \cdot 3^x.
32 puncte
Notarea 3x=t>03^x = t > 0. Atunci 9x=t29^x = t^2, iar ecuația devine t2−2=2tt^2 - 2 = 2t, adică t2−2t−2=0t^2 - 2t - 2 = 0.
42 puncte
Rezolvarea ecuației de gradul II: t=2±4+82=2±122=2±232=1±3t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}. Cum t>0t > 0, avem t=1+3t = 1 + \sqrt{3}.
51 punct
Revenirea la xx: 3x=1+3⇒x=log⁡3(1+3)3^x = 1 + \sqrt{3} \Rightarrow x = \log_3(1 + \sqrt{3}). Verificarea condiției: 9x=(3x)2=(1+3)2=4+23>29^x = (3^x)^2 = (1+\sqrt{3})^2 = 4 + 2\sqrt{3} > 2, deci soluția este validă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.