MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și Zn={0,1,2,...,n−1}\mathbb{Z}_n = \{0, 1, 2, ..., n-1\} cu operația de adunare modulo nn, notată +n+_n, definită prin a+nb=(a+b)mod  na +_n b = (a+b) \mod n. a) Demonstrați că (Zn,+n)(\mathbb{Z}_n, +_n) este un grup abelian. b) Pentru n=8n=8, calculați ordinul elementului 33 în grupul (Z8,+8)(\mathbb{Z}_8, +_8).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică proprietățile de grup: închiderea – pentru orice a,b∈Zna, b \in \mathbb{Z}_n, a+nb∈Zna +_n b \in \mathbb{Z}_n deoarece (a+b)mod  n∈{0,...,n−1}(a+b) \mod n \in \{0,...,n-1\}; asociativitatea – (a+nb)+nc=a+n(b+nc)(a +_n b) +_n c = a +_n (b +_n c) din proprietățile aritmeticii modulare; elementul neutru este 00, deoarece a+n0=aa +_n 0 = a.
22 puncte
Comutativitatea: a+nb=(a+b)mod  n=(b+a)mod  n=b+naa +_n b = (a+b) \mod n = (b+a) \mod n = b +_n a, deci grupul este abelian.
32 puncte
Elementul invers al lui a∈Zna \in \mathbb{Z}_n este n−an-a (considerat modulo nn), deoarece a+n(n−a)=(a+n−a)mod  n=nmod  n=0a +_n (n-a) = (a + n - a) \mod n = n \mod n = 0.
43 puncte
Ordinul unui element kk în (Zn,+n)(\mathbb{Z}_n, +_n) este cel mai mic număr natural m>0m>0 astfel încât m⋅k≡0(modn)m \cdot k \equiv 0 \pmod{n}, unde m⋅km \cdot k înseamnă adunarea lui kk cu el însuși de mm ori. Pentru k=3k=3 și n=8n=8, se calculează: 3⋅1=3≢03 \cdot 1=3 \not\equiv 0, 3⋅2=6≢03 \cdot 2=6 \not\equiv 0, 3⋅3=9≡13 \cdot 3=9 \equiv 1, 3⋅4=12≡43 \cdot 4=12 \equiv 4, 3⋅5=15≡73 \cdot 5=15 \equiv 7, 3⋅6=18≡23 \cdot 6=18 \equiv 2, 3⋅7=21≡53 \cdot 7=21 \equiv 5, 3⋅8=24≡03 \cdot 8=24 \equiv 0. Deci ordinul este 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.