MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeProgresii Geometrice
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu rădăcinile x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 în C\mathbb{C}. Știind că x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt în progresie geometrică cu rația rr și că x1+x2+x3=6x_1 + x_2 + x_3 = 6 și x12+x22+x32=14x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 14, determinați coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem relațiile dintre rădăcini și coeficienți pentru polinomul de gradul 3: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x2x3+x3x1=bx_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = b, x1x2x3=−cx_1x_2x_3 = -c.
23 puncte
Din progresia geometrică, avem x2=x1rx_2 = x_1 r și x3=x1r2x_3 = x_1 r^2. Substituim în condițiile date: x1(1+r+r2)=6x_1(1 + r + r^2) = 6 și x12(1+r2+r4)=14x_1^2(1 + r^2 + r^4) = 14.
34 puncte
Rezolvăm sistemul pentru a găsi x1x_1 și rr. Din 1+r+r2=6x11 + r + r^2 = \frac{6}{x_1} și 1+r2+r4=14x121 + r^2 + r^4 = \frac{14}{x_1^2}, folosim identitatea 1+r2+r4=(1+r+r2)2−2r(1+r+r2)1 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)^2 - 2r(1 + r + r^2) pentru a obține ecuații în x1x_1 și rr. Găsim soluțiile x1=2x_1 = 2, r=1r = 1 sau x1=2x_1 = 2, r=−2r = -2 (considerând toate cazurile, dar una dintre ele dă rădăcini distincte). Apoi calculăm a=−6a = -6, b=11b = 11, c=−6c = -6 pentru cazul r=1r=1 (care dă rădăcini egale, deci nu distincte, dar condițiile nu cer distincte), sau pentru cazul relevant cu rădăcini în progresie geometrică propriu-zisă, găsim a,b,ca, b, c corespunzător.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.