MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie SS mulțimea simetriilor unui pătrat (rotații și reflexii) cu operația de compunere a transformărilor. Demonstrați că (S,∘)(S, \circ) este un grup. Apoi, găsiți subgrupul generat de rotația de 90∘90^\circ.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Definirea mulțimii SS: simetriile pătratului sunt 8: 4 rotații (0∘,90∘,180∘,270∘0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ) și 4 reflexii (față de axe și diagonale).
22 puncte
Verificarea închiderii: compunerea a două simetrii este tot o simetrie a pătratului.
31 punct
Asociativitatea: compunerea funcțiilor este asociativă.
42 puncte
Elementul neutru: rotația de 0∘0^\circ este elementul neutru.
52 puncte
Inversul: fiecare simetrie are o inversă care este tot o simetrie.
61 punct
Subgrupul generat de rotația de 90∘90^\circ: acesta este {rotația de 0∘,90∘,180∘,270∘}\{ \text{rotația de } 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ \}, care este un subgrup ciclic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.