MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Se consideră polinomul P(X)=X3−(2+i)X2+(1+2i)X−iP(X) = X^3 - (2+i)X^2 + (1+2i)X - i, unde ii este unitatea imaginară. Să se determine rădăcinile complexe ale polinomului și să se verifice că ele satisfac relațiile lui Viete.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că X=iX = i este o rădăcină a polinomului, deoarece P(i)=i3−(2+i)i2+(1+2i)i−i=−i−(2+i)(−1)+(1+2i)i−i=−i+2+i+i+2i2−i=−i+2+i+i−2−i=0P(i) = i^3 - (2+i)i^2 + (1+2i)i - i = -i - (2+i)(-1) + (1+2i)i - i = -i + 2 + i + i + 2i^2 - i = -i + 2 + i + i - 2 - i = 0.
24 puncte
Se împarte polinomul P(X)P(X) la (X−i)(X - i) folosind schema lui Horner sau împărțirea polinoamelor, obținând P(X)=(X−i)(X2−2X+1)P(X) = (X - i)(X^2 - 2X + 1). Apoi, se rezolvă ecuația X2−2X+1=0X^2 - 2X + 1 = 0, care are rădăcina dublă X=1X = 1. Astfel, rădăcinile sunt x1=ix_1 = i, x2=1x_2 = 1, x3=1x_3 = 1 (rădăcină dublă).
33 puncte
Relațiile lui Viete pentru polinomul de gradul 3: suma rădăcinilor S=x1+x2+x3=i+1+1=2+iS = x_1 + x_2 + x_3 = i + 1 + 1 = 2 + i, care coincide cu coeficientul lui X2X^2 cu semn schimbat, adică −(−(2+i))=2+i-( - (2+i) ) = 2+i; suma produselor perechi P=x1x2+x1x3+x2x3=i⋅1+i⋅1+1⋅1=i+i+1=1+2iP = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = i \cdot 1 + i \cdot 1 + 1 \cdot 1 = i + i + 1 = 1 + 2i, care este coeficientul lui XX; produsul rădăcinilor Q=x1x2x3=i⋅1⋅1=iQ = x_1 x_2 x_3 = i \cdot 1 \cdot 1 = i, care este termenul liber cu semn schimbat, adică −(−i)=i-(-i) = i. Se verifică că acestea sunt egale cu coeficienții polinomului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.