MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡2(xy)=3x2+y2=20\begin{cases} \log_2(xy) = 3 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} pentru x>0x > 0 și y>0y > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din prima ecuație, log⁡2(xy)=3⇒xy=23=8\log_2(xy) = 3 \Rightarrow xy = 2^3 = 8.
24 puncte
Folosind a doua ecuație, x2+y2=20x^2 + y^2 = 20, și relația (x+y)2=x2+y2+2xy=20+2⋅8=36(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 20 + 2 \cdot 8 = 36, deci x+y=36=6x+y = \sqrt{36} = 6 (deoarece x,y>0x,y > 0).
33 puncte
Formăm ecuația de gradul al doilea t2−(x+y)t+xy=0t^2 - (x+y)t + xy = 0, adică t2−6t+8=0t^2 - 6t + 8 = 0. Soluțiile sunt t1=2t_1 = 2 și t2=4t_2 = 4, deci perechile (x,y)(x,y) sunt (2,4)(2,4) și (4,2)(4,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.