MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Calculați aria regiunii plane delimitată de graficele funcțiilor f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3 și g(x)=−x2+6x−5g(x)=-x^2+6x-5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsim punctele de intersecție rezolvând f(x)=g(x)f(x)=g(x): x2−4x+3=−x2+6x−5⇒2x2−10x+8=0⇒x2−5x+4=0⇒x=1x^2-4x+3 = -x^2+6x-5 \Rightarrow 2x^2 -10x +8 =0 \Rightarrow x^2 -5x +4=0 \Rightarrow x=1 sau x=4x=4.
22 puncte
Stabilim care funcție este mai mare pe intervalul (1,4)(1,4). Pentru x=2x=2, f(2)=−1f(2)=-1, g(2)=3g(2)=3, deci g(x)>f(x)g(x) > f(x) pe (1,4)(1,4).
33 puncte
Aria este A=∫14(g(x)−f(x)) dx=∫14(−x2+6x−5−(x2−4x+3)) dx=∫14(−2x2+10x−8) dxA = \int_{1}^{4} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{1}^{4} (-x^2+6x-5 - (x^2-4x+3)) \, dx = \int_{1}^{4} (-2x^2 +10x -8) \, dx.
42 puncte
Calculăm integrala: ∫(−2x2+10x−8) dx=−23x3+5x2−8x\int (-2x^2 +10x -8) \, dx = -\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 -8x. Evaluând de la 1 la 4: (−23⋅64+80−32)−(−23+5−8)=(−1283+48)−(−23−3)=163+113=273=9\left( -\frac{2}{3} \cdot 64 + 80 -32 \right) - \left( -\frac{2}{3} +5 -8 \right) = \left( -\frac{128}{3} + 48 \right) - \left( -\frac{2}{3} -3 \right) = \frac{16}{3} + \frac{11}{3} = \frac{27}{3} = 9. Aria este 9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.