MediuMatematică aplicatăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale trigonometriei în geometrieStatistică descriptivă
Pentru a determina înălțimea unui turn, un topograf măsoară unghiurile de elevație față de vârful turnului din două puncte AA și BB, așezate pe aceeași linie orizontală. Din punctul AA, unghiul este de 30∘30^{\circ}, iar din punctul BB, situat la 5050 de metri mai departe decât AA, unghiul este de 45∘45^{\circ}. Măsurătorile au o eroare standard de 1∘1^{\circ}. Estimați înălțimea turnului și intervalul de încredere aproximativ pentru această înălțime, considerând erorile.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Definește variabilele: fie hh înălțimea turnului, dd distanța de la punctul AA la baza turnului. Din trigonometrie: tan⁡30∘=hd\tan 30^{\circ} = \frac{h}{d} și tan⁡45∘=hd+50\tan 45^{\circ} = \frac{h}{d+50}. Cu tan⁡30∘=13\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} și tan⁡45∘=1\tan 45^{\circ} = 1.
23 puncte
Rezolvă sistemul: hd=13\frac{h}{d} = \frac{1}{\sqrt{3}} și hd+50=1\frac{h}{d+50} = 1. Din a doua, h=d+50h = d+50. Înlocuiește în prima: d+50d=13\frac{d+50}{d} = \frac{1}{\sqrt{3}}, deci d3=d+50d\sqrt{3} = d+50 și d(3−1)=50d(\sqrt{3} - 1) = 50, d=503−1≈68.3d = \frac{50}{\sqrt{3} - 1} \approx 68.3 m. Apoi h=d+50≈118.3h = d+50 \approx 118.3 m.
34 puncte
Consideră erorile: unghiurile măsurate sunt 30∘±1∘30^{\circ} \pm 1^{\circ} și 45∘±1∘45^{\circ} \pm 1^{\circ}. Pentru estimarea intervalului, folosește aproximarea liniară a erorii. Calculează înălțimile pentru unghiurile extreme: dacă θA=31∘\theta_A = 31^{\circ} și θB=44∘\theta_B = 44^{\circ}, rezolvă similar pentru h′h'; dacă θA=29∘\theta_A = 29^{\circ} și θB=46∘\theta_B = 46^{\circ}, rezolvă pentru h′′h''. Intervalul aproximativ: h≈118.3h \approx 118.3 m cu variații de circa ±10\pm 10 m din calcule, de exemplu h′≈128.5h' \approx 128.5 m și h′′≈108.2h'' \approx 108.2 m, deci intervalul de încredere este aproximativ [108,128][108, 128] metri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.