MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaMatematică aplicată
O firmă produce un bun. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=x2−20x+200C(x) = x^2 - 20x + 200 (în mii de lei). Prețul de vânzare pe unitate este de 50 de lei. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și profitul maxim. Dacă firma dorește să obțină un profit de cel puțin 400 de lei, determinați intervalul în care trebuie să se afle numărul de unități vândute.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Profitul este P(x)=50x−C(x)=50x−(x2−20x+200)=−x2+70x−200P(x) = 50x - C(x) = 50x - (x^2 - 20x + 200) = -x^2 + 70x - 200 (mii de lei).
22 puncte
Funcția PP este o parabolă cu ramurile în jos. Maximul se atinge în xv=−b2a=−702⋅(−1)=35x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{70}{2 \cdot (-1)} = 35 unități. Valoarea maximă este P(35)=−352+70⋅35−200=1025P(35) = -35^2 + 70 \cdot 35 - 200 = 1025 mii lei.
32 puncte
Condiția P(x)≥400P(x) \geq 400 devine −x2+70x−200≥400-x^2 + 70x - 200 \geq 400, adică −x2+70x−600≥0-x^2 + 70x - 600 \geq 0.
42 puncte
Înmulțim cu −1-1: x2−70x+600≤0x^2 - 70x + 600 \leq 0. Ecuația x2−70x+600=0x^2 - 70x + 600 = 0 are discriminantul Δ=4900−2400=2500\Delta = 4900 - 2400 = 2500, deci x1,2=70±502x_{1,2} = \frac{70 \pm 50}{2}, adică x1=10x_1 = 10, x2=60x_2 = 60.
52 puncte
Soluția inecuației este x∈[10,60]x \in [10, 60]. Deoarece xx reprezintă număr de unități, putem considera x∈Nx \in \mathbb{N} sau x∈Rx \in \mathbb{R}, dar intervalul real este [10,60][10,60].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.