MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definite
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, continuă, cu proprietatea că f(x)+f(−x)=2f(x) + f(-x) = 2 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Calculați ∫−11x2f(x) dx\int_{-1}^{1} x^2 f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm I=∫−11x2f(x)dxI = \int_{-1}^{1} x^2 f(x) dx. Observăm că intervalul este simetric față de origine și că funcția g(x)=x2f(x)g(x) = x^2 f(x) nu este neapărat pară sau impară, dar putem folosi proprietatea integralelor pe intervale simetrice.
24 puncte
Facem substituția x=−ux = -u în integrală. Obținem I=∫−11u2f(−u)du=∫−11x2f(−x)dxI = \int_{-1}^{1} u^2 f(-u) du = \int_{-1}^{1} x^2 f(-x) dx (schimbând variabila de integrare). Adunăm cele două expresii pentru II: 2I=∫−11x2(f(x)+f(−x))dx2I = \int_{-1}^{1} x^2 (f(x) + f(-x)) dx. Folosind condiția f(x)+f(−x)=2f(x) + f(-x) = 2, avem 2I=∫−112x2dx=2∫−11x2dx2I = \int_{-1}^{1} 2x^2 dx = 2 \int_{-1}^{1} x^2 dx.
33 puncte
Calculăm ∫−11x2dx=[x33]−11=13−(−13)=23\int_{-1}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}. Deci 2I=2⋅23=432I = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}, iar I=23I = \frac{2}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.