MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuri
Fie M={(a−bba)∣a,b∈R,a2+b2≠0}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a^2 + b^2 \neq 0 \right\}. Demonstrați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup cu operația de înmulțire a matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătați că produsul a două matrice din MM este tot în MM. Fie A=(a−bba)A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} și B=(c−ddc)B = \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}; atunci A⋅B=(ac−bd−(ad+bc)ad+bcac−bd)=(e−ffe)A \cdot B = \begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac-bd \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e & -f \\ f & e \end{pmatrix} cu e=ac−bd,f=ad+bc∈Re=ac-bd, f=ad+bc \in \mathbb{R} și e2+f2=(a2+b2)(c2+d2)≠0e^2 + f^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2) \neq 0.
23 puncte
Asociativitatea înmulțirii matricelor este valabilă pentru orice matrice, inclusiv pentru cele din MM.
32 puncte
Elementul neutru este matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, care este în MM pentru a=1,b=0a=1, b=0.
43 puncte
Pentru orice A=(a−bba)∈MA = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \in M, determinantul este det⁡(A)=a2+b2≠0\det(A) = a^2 + b^2 \neq 0, deci există inversa A−1=1a2+b2(ab−ba)=(aa2+b2−ba2+b2ba2+b2aa2+b2)A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{a}{a^2+b^2} & -\frac{b}{a^2+b^2} \\ \frac{b}{a^2+b^2} & \frac{a}{a^2+b^2} \end{pmatrix}. Notând c=aa2+b2,d=ba2+b2c = \frac{a}{a^2+b^2}, d = \frac{b}{a^2+b^2}, avem A−1=(c−ddc)A^{-1} = \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} cu c,d∈Rc,d \in \mathbb{R} și c2+d2=1a2+b2≠0c^2 + d^2 = \frac{1}{a^2+b^2} \neq 0, deci A−1∈MA^{-1} \in M.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.