MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Fie inelul Z4[x]\mathbb{Z}_4[x] al polinoamelor cu coeficienți în Z4\mathbb{Z}_4. Considerați polinomul f(x)=2x2+x+1f(x) = 2x^2 + x + 1 în Z4[x]\mathbb{Z}_4[x]. a) Arătați că f(x)f(x) nu are invers multiplicativ în Z4[x]\mathbb{Z}_4[x]. b) Demonstrați că Z4\mathbb{Z}_4 nu este corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru partea b, arătați că în Z4\mathbb{Z}_4, elementul 22 nu are invers multiplicativ: verificați toate elementele 0,1,2,30,1,2,3 și observați că 2⋅0=02 \cdot 0 = 0, 2⋅1=22 \cdot 1 = 2, 2⋅2=02 \cdot 2 = 0, 2⋅3=22 \cdot 3 = 2, deci nu există a∈Z4a \in \mathbb{Z}_4 cu 2⋅a=12 \cdot a = 1. Astfel, Z4\mathbb{Z}_4 nu este corp.\n
23 puncte
Pentru partea a, presupuneți că există g(x)∈Z4[x]g(x) \in \mathbb{Z}_4[x] astfel încît f(x)g(x)=1f(x)g(x) = 1. Fie g(x)=bnxn+⋯+b1x+b0g(x) = b_n x^n + \cdots + b_1 x + b_0. Termenul liber al f(x)g(x)f(x)g(x) este 1⋅b0=b01 \cdot b_0 = b_0, iar din f(x)g(x)=1f(x)g(x) = 1, avem b0=1b_0 = 1.\n
32 puncte
Considerați coeficientul lui xx în f(x)g(x)f(x)g(x): din f(x)=2x2+x+1f(x) = 2x^2 + x + 1, contribuția este 1⋅b1+b0⋅1=b1+11 \cdot b_1 + b_0 \cdot 1 = b_1 + 1. Pentru ca f(x)g(x)=1f(x)g(x) = 1, acesta trebuie să fie 00, deci b1+1=0b_1 + 1 = 0 în Z4\mathbb{Z}_4, adică b1=3b_1 = 3.\n
42 puncte
Analizați coeficientul lui x2x^2: din f(x)g(x)f(x)g(x), contribuție de la 2x2⋅b0=2⋅1=22x^2 \cdot b_0 = 2 \cdot 1 = 2 și de la x⋅b1x=1⋅3x2=3x2x \cdot b_1 x = 1 \cdot 3 x^2 = 3x^2, deci coeficientul este 2+3=12 + 3 = 1 în Z4\mathbb{Z}_4, care este nenul. Contradicție, deci f(x)f(x) nu are invers în Z4[x]\mathbb{Z}_4[x].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.