MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieNumere Complexe
Verificați dacă mulțimea M={a+bi∣a,b∈R,a2+b2≠0}M = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}, a^2 + b^2 \neq 0 \} împreună cu legea de compoziție ∗* definită prin (a+bi)∗(c+di)=ac−bd+(ad+bc)i(a+bi) * (c+di) = ac - bd + (ad+bc)i formează un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea asociativității. Pentru orice x=a+bi,y=c+di,z=e+fi∈Mx=a+bi, y=c+di, z=e+fi \in M, se calculează (x∗y)∗z=((ac−bd)+(ad+bc)i)∗(e+fi)=(ac−bd)e−(ad+bc)f+((ac−bd)f+(ad+bc)e)i=ace−bde−adf−bcf+(acf−bdf+ade+bce)i(x*y)*z = ((ac-bd)+(ad+bc)i)*(e+fi) = (ac-bd)e - (ad+bc)f + ((ac-bd)f+(ad+bc)e)i = ace-bde-adf-bcf + (acf-bdf+ade+bce)i și x∗(y∗z)=(a+bi)∗((ce−df)+(cf+de)i)=a(ce−df)−b(cf+de)+(a(cf+de)+b(ce−df))i=ace−adf−bcf−bde+(acf+ade+bce−bdf)ix*(y*z) = (a+bi)*((ce-df)+(cf+de)i) = a(ce-df) - b(cf+de) + (a(cf+de)+b(ce-df))i = ace-adf-bcf-bde + (acf+ade+bce-bdf)i. Se observă că sunt egale, deci operația este asociativă.
22 puncte
Găsirea elementului neutru. Se caută e=e1+e2i∈Me = e_1 + e_2 i \in M astfel încât (a+bi)∗e=a+bi(a+bi)*e = a+bi. Aceasta dă sistemul {ae1−be2=aae2+be1=b\begin{cases} ae_1 - be_2 = a \\ ae_2 + be_1 = b \end{cases}. Rezolvând, se obține e1=1,e2=0e_1=1, e_2=0, deci e=1e=1. Se verifică și că e∗(a+bi)=a+bie*(a+bi)=a+bi.
32 puncte
Găsirea elementelor simetrizabile. Pentru x=a+bi∈Mx=a+bi \in M, se caută x′=c+dix' = c+di astfel încât x∗x′=1x*x'=1. Aceasta conduce la sistemul {ac−bd=1ad+bc=0\begin{cases} ac-bd=1 \\ ad+bc=0 \end{cases}. Rezolvând, se obține c=aa2+b2c = \frac{a}{a^2+b^2}, d=−ba2+b2d = \frac{-b}{a^2+b^2}, deci x′=aa2+b2−ba2+b2ix' = \frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i, care aparține lui MM deoarece a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0.
43 puncte
Concluzia. Deoarece operația este asociativă, există element neutru și fiecare element are simetric, (M,∗)(M, *) formează un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.