MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea R={a+b3∣a,b∈Z}R = \{ a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire. a) Arătați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate. b) Determinați toate elementele x∈Rx \in R pentru care x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm închiderea față de adunare și înmulțire. Pentru orice x=a+b3,y=c+d3∈Rx = a + b\sqrt{3}, y = c + d\sqrt{3} \in R, avem x+y=(a+c)+(b+d)3∈Rx + y = (a+c) + (b+d)\sqrt{3} \in R și x⋅y=(ac+3bd)+(ad+bc)3∈Rx \cdot y = (ac + 3bd) + (ad + bc)\sqrt{3} \in R.
22 puncte
Asociativitatea și comutativitatea adunării și înmulțirii rezultă din proprietățile numerelor întregi și operațiilor cu radicali.
32 puncte
Distributivitatea: x(y+z)=xy+xzx(y+z) = xy + xz pentru orice x,y,z∈Rx,y,z \in R. Elementul neutru la adunare este 0=0+030 = 0 + 0\sqrt{3}, iar la înmulțire este 1=1+031 = 1 + 0\sqrt{3}.
43 puncte
Rezolvăm ecuația x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0. Fie x=a+b3x = a + b\sqrt{3}. Atunci (a+b3)2−4(a+b3)+1=0(a + b\sqrt{3})^2 - 4(a + b\sqrt{3}) + 1 = 0, adică (a2+3b2−4a+1)+(2ab−4b)3=0(a^2 + 3b^2 - 4a + 1) + (2ab - 4b)\sqrt{3} = 0. Obținem sistemul: a2+3b2−4a+1=0a^2 + 3b^2 - 4a + 1 = 0 și 2ab−4b=02ab - 4b = 0. Din 2b(a−2)=02b(a-2)=0, avem b=0b=0 sau a=2a=2. Dacă b=0b=0, atunci a2−4a+1=0a^2 - 4a + 1=0, cu soluțiile a=2±3a = 2 \pm \sqrt{3}, dar a∈Za \in \mathbb{Z}, deci nu sunt soluții. Dacă a=2a=2, atunci 4+3b2−8+1=0⇒3b2−3=0⇒b2=1⇒b=±14 + 3b^2 - 8 + 1 = 0 \Rightarrow 3b^2 - 3 = 0 \Rightarrow b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm 1. Astfel, soluțiile sunt x=2+3x = 2 + \sqrt{3} și x=2−3x = 2 - \sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.