MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaNumere Complexe
Se consideră ecuația x2+px+q=0x^2 + px + q = 0, cu p,q∈Rp, q \in \mathbb{R}. Știind că rădăcinile z1z_1 și z2z_2 sunt numere complexe ne-reale conjugate, că ∣z1∣=∣z2∣=5|z_1| = |z_2| = \sqrt{5}, și că z12+z22=6z_1^2 + z_2^2 = 6, determinați pp și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie z1=a+biz_1 = a + bi și z2=a−biz_2 = a - bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, b≠0b \neq 0. Atunci ∣z1∣2=a2+b2=5|z_1|^2 = a^2 + b^2 = 5 și z12+z22=(a+bi)2+(a−bi)2=2(a2−b2)=6z_1^2 + z_2^2 = (a+bi)^2 + (a-bi)^2 = 2(a^2 - b^2) = 6, deci a2−b2=3a^2 - b^2 = 3.
23 puncte
Adunăm și scădem ecuațiile: din a2+b2=5a^2 + b^2 = 5 și a2−b2=3a^2 - b^2 = 3, obținem 2a2=8⇒a2=42a^2 = 8 \Rightarrow a^2 = 4 și 2b2=2⇒b2=12b^2 = 2 \Rightarrow b^2 = 1. Deci a=±2a = \pm 2, b=±1b = \pm 1 (cu b≠0b \neq 0).
32 puncte
Folosim relațiile lui Viete: z1+z2=−p=2az_1 + z_2 = -p = 2a, deci p=−2a=∓4p = -2a = \mp 4 (adică p=−4p = -4 pentru a=2a=2 sau p=4p=4 pentru a=−2a=-2); z1⋅z2=q=a2+b2=4+1=5z_1 \cdot z_2 = q = a^2 + b^2 = 4 + 1 = 5.
42 puncte
Verificăm discriminantul: Δ=p2−4q\Delta = p^2 - 4q. Pentru p=±4p = \pm 4, Δ=16−20=−4<0\Delta = 16 - 20 = -4 < 0, deci rădăcinile sunt complexe ne-reale conjugate, conform condiției. Astfel, soluțiile sunt p=−4p = -4 sau p=4p = 4, și q=5q = 5. Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.