MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>−1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} și legea de compoziție ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy, pentru orice x,y∈Mx, y \in M. Arătați că (M,∗)(M, *) este grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificați că legea ∗* este bine definită pe MM, adică pentru orice x,y∈Mx, y \in M, avem x∗y>−1x * y > -1, deoarece x∗y=x+y+xy=(x+1)(y+1)−1x * y = x + y + xy = (x+1)(y+1) - 1 și x+1>0x+1 > 0, y+1>0y+1 > 0, deci (x+1)(y+1)>0(x+1)(y+1) > 0 și x∗y>−1x * y > -1.
23 puncte
Demonstrați asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz, deci egal.
32 puncte
Găsiți elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x; rezolvând x+e+xe=xx + e + xe = x, obținem e(1+x)=0e(1+x) = 0, deci e=0e = 0, și se verifică că 0∈M0 \in M și 0∗x=x0 * x = x.
43 puncte
Pentru fiecare x∈Mx \in M, găsiți inversul x′x' rezolvând x∗x′=0x * x' = 0; adică x+x′+xx′=0x + x' + xx' = 0, deci x′(1+x)=−xx'(1+x) = -x, și cum x>−1x > -1, 1+x>01+x > 0, obținem x′=−x1+xx' = \frac{-x}{1+x}; se verifică că x′>−1x' > -1 și că x′∗x=0x' * x = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.