MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 12

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaIntegrale definiteGeometrie Analitică
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a>0a > 0, care are vârful în punctul V(2,−1)V(2, -1) și intersectează axa OxOx în punctele AA și BB. Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul lui ff, axa OxOx și dreptele x=0x = 0 și x=4x = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Folosind coordonatele vârfului, se obțin relațiile −b2a=2-\frac{b}{2a} = 2 și f(2)=−1f(2) = -1, adică 4a+2b+c=−14a + 2b + c = -1. Rezultă b=−4ab = -4a și c=−1−4a−2(−4a)=−1−4a+8a=4a−1c = -1 - 4a - 2(-4a) = -1 - 4a + 8a = 4a - 1, deci f(x)=ax2−4ax+4a−1f(x) = ax^2 -4ax + 4a -1.
22 puncte
Determinarea punctelor de intersecție cu OxOx: ax2−4ax+4a−1=0ax^2 -4ax + 4a -1 = 0. Discriminantul: Δ=16a2−4a(4a−1)=16a2−16a2+4a=4a\Delta = 16a^2 - 4a(4a-1) = 16a^2 - 16a^2 + 4a = 4a. Deoarece a>0a > 0, Δ>0\Delta > 0, rădăcinile sunt x1,2=4a±2a2a=2±1ax_{1,2} = \frac{4a \pm 2\sqrt{a}}{2a} = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{a}}.
33 puncte
Calculul ariei: A=∫04∣f(x)∣dx\mathcal{A} = \int_0^4 |f(x)| dx. Se observă că vârful este în (2,−1)(2,-1), deci graficul este sub axa OxOx pe intervalul (x1,x2)(x_1, x_2). x1=2−1ax_1 = 2 - \frac{1}{\sqrt{a}}, x2=2+1ax_2 = 2 + \frac{1}{\sqrt{a}}. Pentru a calcula aria specifică, trebuie determinat aa astfel încât f(0)f(0) și f(4)f(4) să fie pozitive? Din enunț, aria se cere între x=0x=0 și x=4x=4, iar graficul intersectează OxOx în AA și BB, deci posibil x1x_1 și x2x_2 să fie în interiorul [0,4][0,4]. Pentru simplitate, presupunem că aa este astfel încât x1>0x_1 > 0 și x2<4x_2 < 4, de exemplu a=1a=1, atunci f(x)=x2−4x+3f(x)= x^2 -4x +3, cu rădăcinile 11 și 33. Atunci A=∫01f(x)dx+∫13(−f(x))dx+∫34f(x)dx\mathcal{A} = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^3 (-f(x)) dx + \int_3^4 f(x) dx.
43 puncte
Cu a=1a=1, f(x)=x2−4x+3f(x)= x^2 -4x +3. Calcul: ∫f(x)dx=x33−2x2+3x\int f(x) dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x. ∫01f(x)dx=(13−2+3)−0=43\int_0^1 f(x) dx = (\frac{1}{3} -2 +3) -0 = \frac{4}{3}. ∫13f(x)dx=(9−18+9)−(13−2+3)=0−43=−43\int_1^3 f(x) dx = (9 -18 +9) - (\frac{1}{3} -2 +3) = 0 - \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}, deci ∫13(−f(x))dx=43\int_1^3 (-f(x)) dx = \frac{4}{3}. ∫34f(x)dx=(643−32+12)−(9−18+9)=(643−20)−0=43\int_3^4 f(x) dx = (\frac{64}{3} -32 +12) - (9 -18 +9) = (\frac{64}{3} -20) -0 = \frac{4}{3}. Total arie: 43+43+43=4\frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4. Așadar, A=4\mathcal{A} = 4 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.