MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciNumere Complexe
Fie M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. a) Arătați că MM este un inel comutativ în raport cu adunarea și înmulțirea matricelor. b) Arătați că MM este un corp. c) Să se arate că aplicația f:M→Cf: M \to \mathbb{C}, definită prin f((ab−ba))=a+bif\left(\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\right) = a+bi, este un izomorfism de corpuri.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Adunarea și înmulțirea matricelor din MM sunt interne: pentru A=(ab−ba)A=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} și B=(cd−dc)B=\begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix}, avem A+B=(a+cb+d−(b+d)a+c)∈MA+B=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -(b+d) & a+c \end{pmatrix} \in M și AB=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)∈MAB=\begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix} \in M. Matricea zero este în MM (pentru a=b=0a=b=0), iar matricea identitate este în MM (pentru a=1,b=0a=1, b=0). Adunarea este asociativă și comutativă, înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare, iar înmulțirea este comutativă deoarece AB=BAAB=BA (se verifică prin calcul). Astfel, MM este inel comutativ.
23 puncte
Fie A=(ab−ba)∈MA=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \in M, A≠0A \neq 0. Atunci determinantul său este det⁡A=a2+b2≠0\det A = a^2+b^2 \neq 0. Inversa este A−1=1a2+b2(a−bba)A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, care aparține lui MM (deoarece coeficienții sunt aa2+b2\frac{a}{a^2+b^2} și −ba2+b2\frac{-b}{a^2+b^2}, care sunt numere reale). Deci orice element nenul din MM este inversabil, prin urmare MM este corp.
33 puncte
Aplicația ff este bine definită și bijectivă, deoarece fiecărei matrice din MM îi corespunde un unic număr complex a+bia+bi și reciproc. Se verifică că ff este morfism de corpuri: f(A+B)=f(A)+f(B)f(A+B) = f(A) + f(B) și f(AB)=f(A)f(B)f(AB) = f(A)f(B) pentru orice A,B∈MA,B \in M. De exemplu, pentru înmulțire: f(AB)=f((ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd))=(ac−bd)+(ad+bc)i=(a+bi)(c+di)=f(A)f(B)f(AB) = f\left(\begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix}\right) = (ac-bd)+(ad+bc)i = (a+bi)(c+di) = f(A)f(B). Astfel, ff este izomorfism.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.