MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteTrigonometrie
Calculați integrala definită ∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm substituția x=π2−tx = \frac{\pi}{2} - t. Atunci dx=−dtdx = -dt, iar limitele devin: pentru x=0x=0, t=π2t=\frac{\pi}{2}; pentru x=π2x=\frac{\pi}{2}, t=0t=0. Obținem I=∫π20sin⁡(π2−t)sin⁡(π2−t)+cos⁡(π2−t)(−dt)=∫0π2cos⁡tcos⁡t+sin⁡tdt=∫0π2cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdxI = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right)} (-dt) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\cos t + \sin t} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx.
23 puncte
Adunăm expresia originală a lui I cu cea obținută: 2I=∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx+∫0π2cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=∫0π2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=∫0π21dx=π22I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \frac{\pi}{2}.
34 puncte
Deducem că I=π4I = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.