MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Fie F=Z5F = \mathbb{Z}_5 corpul cu cinci elemente. Considerăm polinomul f(x)=x2+2x+3f(x) = x^2 + 2x + 3 în inelul de polinoame F[x]F[x]. Să se determine dacă f(x)f(x) este ireductibil peste FF și, în caz afirmativ, să se găsească inversul elementului x+1x + 1 în inelul factor F[x]/(f(x))F[x] / (f(x)).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se verifică ireductibilitatea lui f(x)f(x) peste Z5\mathbb{Z}_5: se evaluează f(x)f(x) pentru x=0,1,2,3,4∈Z5x = 0,1,2,3,4 \in \mathbb{Z}_5: f(0)=3f(0)=3, f(1)=1+2+3=6≡1mod  5f(1)=1+2+3=6 \equiv 1 \mod 5, f(2)=4+4+3=11≡1mod  5f(2)=4+4+3=11 \equiv 1 \mod 5, f(3)=9+6+3=18≡3mod  5f(3)=9+6+3=18 \equiv 3 \mod 5, f(4)=16+8+3=27≡2mod  5f(4)=16+8+3=27 \equiv 2 \mod 5. Deoarece f(x)≠0f(x) \neq 0 pentru orice x∈Z5x \in \mathbb{Z}_5 și gradul este 2, f(x)f(x) este ireductibil peste Z5\mathbb{Z}_5.
23 puncte
Dacă f(x)f(x) este ireductibil, atunci idealul (f(x))(f(x)) este maximal, deci inelul factor F[x]/(f(x))F[x] / (f(x)) este un corp; se justifică această proprietate.
33 puncte
Pentru a găsi inversul lui x+1x + 1 în corpul F[x]/(f(x))F[x] / (f(x)), se rezolvă ecuația (x+1)⋅g(x)≡1mod  f(x)(x+1) \cdot g(x) \equiv 1 \mod f(x), unde g(x)=ax+bg(x) = ax + b cu a,b∈Z5a,b \in \mathbb{Z}_5. Se obține (x+1)(ax+b)=ax2+(a+b)x+b(x+1)(ax+b) = a x^2 + (a+b)x + b. În modul f(x)=x2+2x+3f(x) = x^2 + 2x + 3, avem x2≡−2x−3mod  f(x)x^2 \equiv -2x - 3 \mod f(x), deci a(−2x−3)+(a+b)x+b=(−2a+a+b)x+(−3a+b)=(−a+b)x+(−3a+b)a(-2x-3) + (a+b)x + b = (-2a + a+b)x + (-3a + b) = (-a+b)x + (-3a+b). Acesta trebuie să fie congruent cu 1, deci sistemul: −a+b≡0mod  5 -a + b \equiv 0 \mod 5 și −3a+b≡1mod  5 -3a + b \equiv 1 \mod 5. Rezolvând, se obține a=3a=3 și b=3b=3, deci inversul este 3x+33x+3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.