MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere Complexe
Fie mulțimea A={a+bi∣a,b∈Z}A = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile uzuale de adunare și înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ cu unitate, dar nu este corp. Găsiți elementele inversabile din AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se arată că pentru orice z1=a1+b1i,z2=a2+b2i∈Az_1 = a_1 + b_1 i, z_2 = a_2 + b_2 i \in A, avem z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i∈Az_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \in A și z1⋅z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈Az_1 \cdot z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i \in A, deoarece a1+a2,b1+b2,a1a2−b1b2,a1b2+a2b1∈Za_1 + a_2, b_1 + b_2, a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1 \in \mathbb{Z}.
23 puncte
(A,+)(A, +) este grup abelian: adunarea este asociativă și comutativă, elementul neutru este 0=0+0i∈A0 = 0 + 0i \in A, iar inversul lui z=a+biz = a + bi este −z=−a−bi∈A-z = -a - bi \in A.
33 puncte
Distributivitatea: pentru orice z1,z2,z3∈Az_1, z_2, z_3 \in A, z1⋅(z2+z3)=z1⋅z2+z1⋅z3z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 și (z2+z3)⋅z1=z2⋅z1+z3⋅z1(z_2 + z_3) \cdot z_1 = z_2 \cdot z_1 + z_3 \cdot z_1, ceea ce se verifică prin calcul direct.
41 punct
Înmulțirea este comutativă: z1⋅z2=z2⋅z1z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1, și există element neutru pentru înmulțire: 1=1+0i∈A1 = 1 + 0i \in A.
51 punct
AA nu este corp deoarece, de exemplu, elementul 2=2+0i∈A2 = 2 + 0i \in A nu are invers în AA; un invers ar fi 12\frac{1}{2}, care nu este în AA. Elementele inversabile din AA sunt acelea cu norma ∣z∣2=a2+b2=1|z|^2 = a^2 + b^2 = 1, adică ±1\pm 1 și ±i\pm i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.