MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}. Se consideră operațiile de adunare și înmulțire definite în mod obișnuit pe numerele reale. a) Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. b) Este (A,+,⋅)(A, +, \cdot) un corp? Justificați. c) Determinați elementele inversabile din inelul AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică că (A,+)(A, +) este grup abelian: este închisă la adunare (suma a două elemente din AA este de forma (a+c)+(b+d)2(a+c)+(b+d)\sqrt{2} cu a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}), asociativitate și comutativitate rezultă din proprietățile adunării numerelor reale, element neutru este 0=0+02∈A0 = 0 + 0\sqrt{2} \in A, iar simetricul lui a+b2a+b\sqrt{2} este −a−b2∈A-a-b\sqrt{2} \in A.
23 puncte
Se verifică că (A,⋅)(A, \cdot) este monoid comutativ: este închisă la înmulțire ((a+b2)(c+d2)=(ac+2bd)+(ad+bc)2∈A(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}) = (ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2} \in A), asociativitate și comutativitate rezultă din proprietățile înmulțirii numerelor reale, element neutru este 1=1+02∈A1 = 1 + 0\sqrt{2} \in A. Distributivitatea înmulțirii față de adunare se verifică folosind definițiile.
32 puncte
Răspuns la b): (A,+,⋅)(A, +, \cdot) nu este corp, deoarece există elemente nenule care nu au invers în AA. Exemplu: 2=2+022 = 2 + 0\sqrt{2} este nenul, dar inversul său 12\frac{1}{2} nu aparține lui AA (deoarece 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}).
42 puncte
Pentru c), fie u=a+b2∈Au = a+b\sqrt{2} \in A inversabil. Atunci există v=c+d2∈Av = c+d\sqrt{2} \in A astfel încât uv=1uv=1. Din (a+b2)(c+d2)=1(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=1, prin identificare, se obține sistemul: ac+2bd=1ac+2bd=1 și ad+bc=0ad+bc=0. Rezolvând, se ajunge la condiția a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1. Deci elementele inversabile sunt acele a+b2a+b\sqrt{2} pentru care a2−2b2=±1a^2 - 2b^2 = \pm 1 cu a,b∈Za,b \in \mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.