MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați numerele reale pozitive x pentru care log⁡x(2)+log⁡2(x)=52\log_x(2) + \log_2(x) = \frac{5}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Se observă că log⁡2(x)=1log⁡x(2)\log_2(x) = \frac{1}{\log_x(2)}. Se notează t=log⁡2(x)t = \log_2(x), atunci log⁡x(2)=1t\log_x(2) = \frac{1}{t}. Ecuația devine t+1t=52t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}.
22 puncte
Se înmulțește ecuația cu 2t2t: 2t2+2=5t2t^2 + 2 = 5t, deci 2t2−5t+2=02t^2 - 5t + 2 = 0.
32 puncte
Se rezolvă ecuația pătratică: Δ=25−16=9\Delta = 25 - 16 = 9, t=5±34t = \frac{5 \pm 3}{4}, astfel t1=2t_1 = 2, t2=12t_2 = \frac{1}{2}.
42 puncte
Se revine la x: pentru t1=2t_1 = 2, x=22=4x = 2^2 = 4; pentru t2=12t_2 = \frac{1}{2}, x=21/2=2x = 2^{1/2} = \sqrt{2}.
51 punct
Se verifică condițiile: x>0x > 0 și x≠1x \neq 1, ambele valori satisfac.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.