MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Se consideră polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali a,b,ca, b, c. Rădăcinile lui PP formează o progresie aritmetică. Știind că P(1)=5P(1) = 5 și P(2)=10P(2) = 10, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Deoarece sunt în progresie aritmetică, le exprimăm sub forma x1=r−dx_1 = r - d, x2=rx_2 = r, x3=r+dx_3 = r + d, cu r,d∈Rr, d \in \mathbb{R}.
23 puncte
Aplicăm formulele lui Vieta: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x1x3+x2x3=bx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b, x1x2x3=−cx_1 x_2 x_3 = -c.
32 puncte
Scriem condițiile din enunț: P(1)=1+a+b+c=5P(1) = 1 + a + b + c = 5 și P(2)=8+4a+2b+c=10P(2) = 8 + 4a + 2b + c = 10.
43 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații. Din x1+x2+x3=3r=−ax_1 + x_2 + x_3 = 3r = -a, x1x2+x1x3+x2x3=3r2−d2=bx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 3r^2 - d^2 = b, și x1x2x3=r(r2−d2)=−cx_1 x_2 x_3 = r(r^2 - d^2) = -c, combinate cu a+b+c=4a + b + c = 4 și 4a+2b+c=24a + 2b + c = 2. După calcule, obținem a=−3a = -3, b=3b = 3, c=4c = 4, iar rădăcinile sunt x1=1x_1 = 1, x2=2x_2 = 2, x3=3x_3 = 3 (sau permutări).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.