MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie C\mathbb{C} corpul numerelor complexe și R={a+bω+cω2∣a,b,c∈Q}R = \{ a + b\omega + c\omega^2 \mid a, b, c \in \mathbb{Q} \}, unde ω\omega este o rădăcină complexă a ecuației x3=1x^3 = 1 diferită de 11, de exemplu ω=e2πi/3\omega = e^{2\pi i/3}. Demonstrați că RR este un subinel al lui C\mathbb{C}. Apoi, determinați dacă RR este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Se definește ω=−12+i32\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} (sau ω=e2πi/3\omega = e^{2\pi i/3}), cu proprietățile ω3=1\omega^3 = 1, ω≠1\omega \neq 1, și 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0.\n
22 puncte
Pentru orice două elemente a1+b1ω+c1ω2a_1 + b_1\omega + c_1\omega^2 și a2+b2ω+c2ω2a_2 + b_2\omega + c_2\omega^2 din RR, suma și diferența lor sunt (a1±a2)+(b1±b2)ω+(c1±c2)ω2 (a_1 \pm a_2) + (b_1 \pm b_2)\omega + (c_1 \pm c_2)\omega^2, cu coeficienți raționali, deci aparțin lui RR.\n
33 puncte
Produsul a două elemente din RR se calculează folosind ω3=1\omega^3 = 1 și ω2=−1−ω\omega^2 = -1 - \omega. De exemplu, (a1+b1ω+c1ω2)(a2+b2ω+c2ω2)(a_1 + b_1\omega + c_1\omega^2)(a_2 + b_2\omega + c_2\omega^2) se expandează și se reduce la o expresie de forma a′+b′ω+c′ω2a' + b'\omega + c'\omega^2 cu a′,b′,c′∈Qa', b', c' \in \mathbb{Q}, deci aparține lui RR.\n
41 punct
0=0+0ω+0ω2∈R0 = 0 + 0\omega + 0\omega^2 \in R și 1=1+0ω+0ω2∈R1 = 1 + 0\omega + 0\omega^2 \in R.\n
51 punct
Din pașii anteriori, RR este nevid și închis la scădere și înmulțire, deci este un subinel al lui C\mathbb{C}.\n
62 puncte
Pentru a verifica dacă RR este corp, se consideră un element nenul α=a+bω+cω2∈R\alpha = a + b\omega + c\omega^2 \in R. Se caută inversul său multiplicativ β=x+yω+zω2∈R\beta = x + y\omega + z\omega^2 \in R astfel încât αβ=1\alpha\beta = 1. Folosind relațiile pentru ω\omega, se obține un sistem liniar în x,y,zx, y, z cu coeficienți raționali, care are soluție unică deoarece determinantul asociat este nenul (echivalent cu α≠0\alpha \neq 0). Astfel, orice element nenul din RR are invers în RR, deci RR este un corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.