MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciNumere Complexe
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Este acest inel un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm că (M,+)(M, +) este un grup abelian. Adunarea matricelor este internă (suma a două matrice din MM rămâne în MM), asociativă, comutativă, elementul neutru este (0000)∈M\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M, iar simetricul lui (ab−ba)\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} este (−a−bb−a)∈M\begin{pmatrix} -a & -b \\ b & -a \end{pmatrix} \in M.
23 puncte
Înmulțirea matricelor este asociativă și distributivă față de adunare, deoarece aceste proprietăți sunt valabile pentru matricele pătrate de ordinul 2 și se păstrează în MM.
32 puncte
Elementul neutru la înmulțire este (1001)∈M\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M (corespunde lui a=1,b=0a=1, b=0).
42 puncte
Pentru un element nenul (ab−ba)\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} cu (a,b)≠(0,0)(a,b) \neq (0,0), determinantul este a2+b2≠0a^2 + b^2 \neq 0, deci matricea este inversabilă. Inversa este 1a2+b2(a−bba)\frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, care aparține lui MM deoarece coeficienții sunt numere reale. Astfel, fiecare element nenul are invers în MM, deci MM este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.