MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x. Calculați ∫−22f(x)dx\int_{-2}^{2} f(x) dx utilizând proprietatea funcțiilor impare. Apoi, determinați aria suprafeței cuprinse între graficul lui ff și axa Ox pe intervalul [−2,2][-2,2].

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Observăm că f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x este funcție impară deoarece f(−x)=(−x)3−4(−x)=−x3+4x=−(x3−4x)=−f(x)f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -f(x).\n
23 puncte
Pentru funcții impare, ∫−aaf(x)dx=0\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0. Deci ∫−22f(x)dx=0\int_{-2}^{2} f(x) dx = 0.\n
32 puncte
Pentru aria, găsim rădăcinile funcției: f(x)=0⇒x(x2−4)=0⇒x=0,x=±2f(x) = 0 \Rightarrow x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 2. Pe [−2,2][-2,2], funcția este pozitivă pe (−2,0)(-2,0) și negativă pe (0,2)(0,2).\n
41 punct
Aria este ∫−22∣f(x)∣dx=∫−20f(x)dx−∫02f(x)dx\int_{-2}^{2} |f(x)| dx = \int_{-2}^{0} f(x) dx - \int_{0}^{2} f(x) dx deoarece pe [0,2][0,2], f(x)≤0f(x) \leq 0.\n
51 punct
Din imparitate, ∫−20f(x)dx=−∫02f(x)dx\int_{-2}^{0} f(x) dx = -\int_{0}^{2} f(x) dx. Fie I=∫02f(x)dxI = \int_{0}^{2} f(x) dx, atunci aria =−I−I=−2I= -I - I = -2I.\n
61 punct
Calculăm I=∫02(x3−4x)dx=[x44−2x2]02=164−8=4−8=−4I = \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{0}^{2} = \frac{16}{4} - 8 = 4 - 8 = -4.\nAria =−2⋅(−4)=8= -2 \cdot (-4) = 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.