MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelor
Un fir de sârmă cu lungimea de 100 cm este tăiat în două părți. Din prima parte se formează un cerc, iar din a doua un pătrat. Determinați lungimile părților astfel încât suma ariilor cercului și pătratului să fie minimă.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se notează cu xx lungimea părții din care se formează cercul, iar cu 100−x100-x lungimea părții pentru pătrat.
23 puncte
Se exprimă ariile. Raza cercului este r=x2πr = \frac{x}{2\pi}, deci aria cercului este Ac=πr2=x24πA_c = \pi r^2 = \frac{x^2}{4\pi}. Latura pătratului este s=100−x4s = \frac{100-x}{4}, deci aria pătratului este Ap=s2=(100−x4)2A_p = s^2 = \left(\frac{100-x}{4}\right)^2. Suma ariilor este A(x)=x24π+(100−x)216A(x) = \frac{x^2}{4\pi} + \frac{(100-x)^2}{16}.
33 puncte
Se derivează funcția A(x)A(x): A′(x)=2x4π+2(100−x)(−1)16=x2π−100−x8A'(x) = \frac{2x}{4\pi} + \frac{2(100-x)(-1)}{16} = \frac{x}{2\pi} - \frac{100-x}{8}. Se rezolvă A′(x)=0A'(x)=0: x2π=100−x8\frac{x}{2\pi} = \frac{100-x}{8} ⇒\Rightarrow 8x=2π(100−x)8x = 2\pi(100-x) ⇒\Rightarrow 8x=200π−2πx8x = 200\pi - 2\pi x ⇒\Rightarrow (8+2π)x=200π(8+2\pi)x = 200\pi ⇒\Rightarrow x=200π8+2π=100π4+πx = \frac{200\pi}{8+2\pi} = \frac{100\pi}{4+\pi}.
41 punct
Se verifică că aceasta este o minimă, de exemplu prin semnul derivatei sau derivata a doua. A′′(x)=12π+18>0A''(x) = \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{8} > 0, deci este minim.
51 punct
Concluzie: Lungimea pentru cerc este 100π4+π\frac{100\pi}{4+\pi} cm, iar pentru pătrat 100−100π4+π=4004+π100 - \frac{100\pi}{4+\pi} = \frac{400}{4+\pi} cm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.