MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriSisteme de Ecuații Liniare
Considerăm inelul Zn\mathbb{Z}_n al claselor de resturi modulo nn. Pentru n=6n=6, determinați toate elementele inversabile și toate divizorii lui zero. Arătați că Zp\mathbb{Z}_p este un corp dacă pp este prim.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Elementele lui Z6\mathbb{Z}_6 sunt {0,1,2,3,4,5}\{0,1,2,3,4,5\}. Un element a∈Z6a \in \mathbb{Z}_6 este inversabil dacă există x∈Z6x \in \mathbb{Z}_6 cu a⋅x≡1(mod6)a \cdot x \equiv 1 \pmod{6}. Rezolvăm pentru fiecare aa: pentru a=1a=1, x=1x=1; pentru a=5a=5, x=5x=5 (deoarece 5⋅5=25≡1(mod6)5 \cdot 5 = 25 \equiv 1 \pmod{6}); pentru a=2,3,4a=2,3,4, ecuația a⋅x≡1(mod6)a \cdot x \equiv 1 \pmod{6} nu are soluție deoarece gcd⁡(a,6)≠1\gcd(a,6) \neq 1. Astfel, elementele inversabile sunt 11 și 55.
23 puncte
Divizorii lui zero în Z6\mathbb{Z}_6 sunt elementele a≠0a \neq 0 pentru care există b≠0b \neq 0 cu a⋅b≡0(mod6)a \cdot b \equiv 0 \pmod{6}. Verificăm: 2⋅3=6≡02 \cdot 3 = 6 \equiv 0, 3⋅2=6≡03 \cdot 2 = 6 \equiv 0, 4⋅3=12≡04 \cdot 3 = 12 \equiv 0, etc. Divizorii lui zero sunt 2,3,42,3,4 (și perechile lor, dar lista elementelor este 2,3,42,3,4).
34 puncte
Demonstrația că Zp\mathbb{Z}_p este corp pentru pp prim: fie a∈Zpa \in \mathbb{Z}_p, a≠0a \neq 0. Atunci gcd⁡(a,p)=1\gcd(a,p)=1, deci există numerele întregi x,yx,y cu a⋅x+p⋅y=1a \cdot x + p \cdot y = 1 (identitatea lui Bézout). Luând modulo pp, avem a⋅x≡1(modp)a \cdot x \equiv 1 \pmod{p}, deci xx este inversul lui aa în Zp\mathbb{Z}_p. Astfel, orice element nenul are invers multiplicativ, iar Zp\mathbb{Z}_p este corp.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.