MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:C→Cf: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, f(z)=z2+(1+i)z+2f(z) = z^2 + (1+i)z + 2, unde z∈Cz \in \mathbb{C}. Determinați numerele complexe zz pentru care f(z)f(z) este un număr real.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Notăm z=x+yiz = x + yi, cu x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
23 puncte
Calculăm f(z)=(x+yi)2+(1+i)(x+yi)+2=x2+2xyi−y2+x+yi+xi−y+2f(z) = (x+yi)^2 + (1+i)(x+yi) + 2 = x^2 + 2xyi - y^2 + x + yi + xi - y + 2.
33 puncte
Grupăm părțile reale și imaginare: f(z)=(x2−y2+x−y+2)+(2xy+x+y)if(z) = (x^2 - y^2 + x - y + 2) + (2xy + x + y)i.
42 puncte
Pentru ca f(z)f(z) să fie real, partea imaginară trebuie să fie zero: 2xy+x+y=02xy + x + y = 0.
51 punct
Rezolvăm ecuația 2xy+x+y=02xy + x + y = 0. Factorizăm: x(2y+1)+y=0x(2y+1) + y = 0. Dacă 2y+1≠02y+1 \neq 0, atunci y=−x2x+1y = -\frac{x}{2x+1} pentru x≠−12x \neq -\frac{1}{2}. Verificând cazul 2y+1=02y+1=0, adică y=−12y=-\frac{1}{2}, ecuația devine x⋅0−12=0x \cdot 0 - \frac{1}{2} = 0, fals. Deci soluțiile sunt z=x+i(−x2x+1)z = x + i\left(-\frac{x}{2x+1}\right), cu x∈R∖{−12}x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.