MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Fie MM mulțimea matricilor pătratice de ordinul 2 cu elemente reale și determinantul 1, adică M={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}M = \{ A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Considerăm operația de înmulțire a matricilor. Demonstrați că (M,⋅)(M, \cdot) formează un grup. Este acest grup abelian?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice A,B∈MA, B \in M, det⁡(A)=1\det(A) = 1, det⁡(B)=1\det(B) = 1, atunci det⁡(AB)=det⁡(A)⋅det⁡(B)=1⋅1=1\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci AB∈MAB \in M.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricilor este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru: matricea identitate I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} are determinantul 1, și pentru orice A∈MA \in M, A⋅I=I⋅A=AA \cdot I = I \cdot A = A.
42 puncte
Inversul: pentru orice A∈MA \in M, deoarece det⁡(A)=1≠0\det(A) = 1 \neq 0, AA este inversabilă, și A−1A^{-1} are det⁡(A−1)=1det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = 1, deci A−1∈MA^{-1} \in M.
52 puncte
Comutativitatea: înmulțirea matricilor nu este comutativă în general. De exemplu, luăm A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(1011)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, atunci AB≠BAAB \neq BA, deci grupul nu este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.