MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X3−3X2+aX+bP(X) = X^3 - 3X^2 + aX + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Știind că 1+i1+i este rădăcină a lui PP, determinați aa și bb, și apoi descompuneți P(X)P(X) în factori ireductibili peste R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

12 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrieți condiția P(1+i)=0P(1+i) = 0.
23 puncte
Calculați P(1+i)=(1+i)3−3(1+i)2+a(1+i)+bP(1+i) = (1+i)^3 - 3(1+i)^2 + a(1+i) + b și obțineți (−2+a+b)+(2+a)i=0(-2 + a + b) + (2 + a)i = 0, deci partea reală și imaginară dau sistemul {−2+a+b=02+a=0\begin{cases} -2 + a + b = 0 \\ 2 + a = 0 \end{cases}.
32 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcina 1+i1+i implică și rădăcina conjugată 1−i1-i, dar se poate folosi direct sistemul obținut.
43 puncte
Rezolvați sistemul: din 2+a=02 + a = 0 se obține a=−2a = -2, apoi din −2+a+b=0-2 + a + b = 0 se obține b=4b = 4.
52 puncte
Cu a=−2a=-2 și b=4b=4, polinomul este P(X)=X3−3X2−2X+4P(X) = X^3 - 3X^2 - 2X + 4. Folosind rădăcinile 1+i1+i și 1−i1-i, factorul X2−2X+2X^2 - 2X + 2, și împărțirea, se obține P(X)=(X−2)(X2−2X+2)P(X) = (X - 2)(X^2 - 2X + 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.