MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeSisteme de Ecuații Neliniare
Considerăm mulțimea Z[i]={a+bi∣a,b∈Z}\mathbb{Z}[i] = \{a+bi \mid a,b \in \mathbb{Z}\}, dotată cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. a) Arătați că Z[i]\mathbb{Z}[i] este un inel comutativ. b) Determinați unitățile (elementele inversabile) ale inelului Z[i]\mathbb{Z}[i]. c) Rezolvați în Z[i]\mathbb{Z}[i] ecuația z2=3+4iz^2 = 3+4i.

Rezolvare completă

10 puncte · 9 pași
11 punct
Se verifică că adunarea și înmulțirea sunt operații interne pe Z[i]\mathbb{Z}[i]: pentru z1=a+bi,z2=c+di∈Z[i]z_1=a+bi, z_2=c+di \in \mathbb{Z}[i], suma (a+c)+(b+d)i(a+c)+(b+d)i și produsul (ac−bd)+(ad+bc)i(ac-bd)+(ad+bc)i au părțile reale și imaginare întregi.
21 punct
Se verifică proprietățile adunării: asociativitate, comutativitate, element neutru 0=0+0i0=0+0i, și existența elementelor opuse.
31 punct
Se verifică asociativitatea înmulțirii și distributivitatea înmulțirii față de adunare.
41 punct
Se verifică comutativitatea înmulțirii și se concluzionează că Z[i]\mathbb{Z}[i] este inel comutativ.
51 punct
Pentru unități, un element z=a+biz=a+bi este inversabil dacă există w=c+diw=c+di cu zw=1zw=1, deci ∣z∣2∣w∣2=1|z|^2|w|^2=1, adică a2+b2=1a^2+b^2=1 în Z\mathbb{Z}.
61 punct
Soluțiile întregi a2+b2=1a^2+b^2=1 sunt (a,b)∈{(1,0),(−1,0),(0,1),(0,−1)}(a,b)\in\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}, deci unitățile sunt 1,−1,i,−i1,-1,i,-i.
71 punct
Pentru ecuația z2=3+4iz^2=3+4i, se notează z=x+yiz=x+yi cu x,y∈Zx,y\in\mathbb{Z}, obținând sistemul {x2−y2=32xy=4\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ 2xy = 4 \end{cases}.
82 puncte
Din 2xy=42xy=4 rezultă xy=2xy=2. Perechile întregi care satisfac sunt (x,y)∈{(2,1),(−2,−1),(1,2),(−1,−2)}(x,y)\in\{(2,1),(-2,-1),(1,2),(-1,-2)\}.
91 punct
Se verifică în prima ecuație: (2,1)(2,1) și (−2,−1)(-2,-1) satisfac x2−y2=3x^2-y^2=3, iar (1,2)(1,2) și (−1,−2)(-1,-2) dau −3-3. Soluțiile sunt z=2+iz=2+i și z=−2−iz=-2-i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.