MediuMatematică aplicatăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăEcuații exponentialeLogaritmi
Un cultur de bacterii se dezvoltă conform modelului exponențial P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P(t)P(t) este numărul de bacterii la momentul tt (în ore), P0P_0 este populația inițială, iar kk este constanta de creștere. Se știe că la t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar la t=2t=2 ore sunt 4000 de bacterii. Determinați după câte ore numărul de bacterii va depăși 1.000.000.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea constantei kk. Din P(0)=1000P(0)=1000, rezultă P0=1000P_0=1000. Din P(2)=4000P(2)=4000, avem 1000⋅e2k=40001000 \cdot e^{2k} = 4000, deci e2k=4e^{2k}=4, 2k=ln⁡42k=\ln 4, k=ln⁡2k=\ln 2.
23 puncte
Scrierea inegalității pentru tt. P(t)>1.000.000  ⟹  1000⋅e(ln⁡2)t>1.000.000P(t) > 1.000.000 \implies 1000 \cdot e^{(\ln 2)t} > 1.000.000, deci 2t>10002^t > 1000.
34 puncte
Rezolvarea inegalității. 2t>1000  ⟹  tln⁡2>ln⁡1000  ⟹  t>ln⁡1000ln⁡22^t > 1000 \implies t \ln 2 > \ln 1000 \implies t > \frac{\ln 1000}{\ln 2}. Aproximând, ln⁡1000ln⁡2≈9.97\frac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9.97 ore, deci după aproximativ 10 ore numărul de bacterii depășește 1.000.000.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.