MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Demonstrați că pentru orice funcție continuă f:[−a,a]→Rf: [-a, a] \to \mathbb{R}, avem ∫−aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(−x)]dx\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] dx. Aplicați această proprietate pentru a calcula ∫−11(x3+2x2+1)dx\int_{-1}^{1} (x^3 + 2x^2 + 1) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem integrala ∫−aaf(x)dx=∫−a0f(x)dx+∫0af(x)dx\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx.
23 puncte
În ∫−a0f(x)dx\int_{-a}^{0} f(x) dx, facem schimbarea de variabilă t=−xt = -x, deci dx=−dtdx = -dt, limitele devin de la aa la 00, iar integrala este ∫a0f(−t)(−dt)=∫0af(−t)dt=∫0af(−x)dx\int_{a}^{0} f(-t)(-dt) = \int_{0}^{a} f(-t) dt = \int_{0}^{a} f(-x) dx.
32 puncte
Adunând, obținem ∫−aaf(x)dx=∫0af(−x)dx+∫0af(x)dx=∫0a[f(x)+f(−x)]dx\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(-x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] dx.
42 puncte
Pentru f(x)=x3+2x2+1f(x) = x^3 + 2x^2 + 1, calculăm f(−x)=−x3+2x2+1f(-x) = -x^3 + 2x^2 + 1, deci ∫−11f(x)dx=∫01[(x3+2x2+1)+(−x3+2x2+1)]dx=∫01(4x2+2)dx\int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} [ (x^3 + 2x^2 + 1) + (-x^3 + 2x^2 + 1) ] dx = \int_{0}^{1} (4x^2 + 2) dx.
51 punct
∫01(4x2+2)dx=[43x3+2x]01=43+2=103\int_{0}^{1} (4x^2 + 2) dx = \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.