MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația: log⁡2(x+3)+log⁡2(x−1)=3+log⁡2(2x−5)\log_2(x+3) + \log_2(x-1) = 3 + \log_2(2x-5).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se stabilesc condițiile de existență: x+3>0x+3 > 0, x−1>0x-1 > 0, 2x−5>02x-5 > 0, de unde x>1x > 1 și x>2.5x > 2.5, deci x>2.5x > 2.5.
23 puncte
Se aplică proprietatea log⁡ab+log⁡ac=log⁡a(bc)\log_a b + \log_a c = \log_a(bc): log⁡2[(x+3)(x−1)]=3+log⁡2(2x−5)\log_2[(x+3)(x-1)] = 3 + \log_2(2x-5). Se scrie 3=log⁡283 = \log_2 8, deci log⁡2[(x+3)(x−1)]=log⁡28+log⁡2(2x−5)=log⁡2[8(2x−5)]\log_2[(x+3)(x-1)] = \log_2 8 + \log_2(2x-5) = \log_2[8(2x-5)].
33 puncte
Se obține ecuația (x+3)(x−1)=8(2x−5)(x+3)(x-1) = 8(2x-5). Se dezvoltă: x2+2x−3=16x−40x^2 + 2x - 3 = 16x - 40, deci x2−14x+37=0x^2 -14x +37 = 0. Se rezolvă: Δ=196−148=48\Delta = 196 - 148 = 48, x1,2=14±482=14±432=7±23x_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{14 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 2\sqrt{3}.
42 puncte
Se verifică condiția x>2.5x > 2.5. Ambele soluții sunt mai mari decât 2.5, deci sunt valide. Răspuns: x1=7+23x_1 = 7 + 2\sqrt{3}, x2=7−23x_2 = 7 - 2\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.