MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciNumere Complexe
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\} cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a matricelor. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp. Demonstrați că acest corp este izomorf cu corpul numerelor complexe C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea că (M,+)(M, +) este grup abelian: închiderea (ab−ba)+(cd−dc)=(a+cb+d−(b+d)a+c)∈M\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -(b+d) & a+c \end{pmatrix} \in M, asociativitatea și comutativitatea din adunarea matricelor, elementul neutru (0000)∈M\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M, simetricele −(ab−ba)=(−a−bb−a)∈M-\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a & -b \\ b & -a \end{pmatrix} \in M.
23 puncte
Verificarea proprietăților înmulțirii: închiderea (ab−ba)(cd−dc)=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)∈M\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix} \in M, asociativitatea din înmulțirea matricelor, elementul neutru (1001)∈M\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M, distributivitatea față de adunare.
32 puncte
Arătarea că fiecare element nenul are invers în MM: pentru (ab−ba)≠(0000)\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, determinantul a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0, deci inversul este 1a2+b2(a−bba)=(aa2+b2−ba2+b2ba2+b2aa2+b2)∈M\frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{a}{a^2+b^2} & \frac{-b}{a^2+b^2} \\ \frac{b}{a^2+b^2} & \frac{a}{a^2+b^2} \end{pmatrix} \in M deoarece coeficienții sunt reali.
42 puncte
Definirea funcției ϕ:M→C\phi: M \to \mathbb{C}, ϕ((ab−ba))=a+bi\phi\left(\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\right) = a+bi și demonstrarea că este izomorfism de corpuri: bijectivitate (funcția este injectivă și surjectivă), păstrarea adunării ϕ(A+B)=ϕ(A)+ϕ(B)\phi(A+B) = \phi(A)+\phi(B), păstrarea înmulțirii ϕ(A⋅B)=ϕ(A)⋅ϕ(B)\phi(A \cdot B) = \phi(A) \cdot \phi(B) pentru orice A,B∈MA,B \in M.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.