MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O firmă produce și vinde un produs. Prețul de vânzare pe unitate este descris de funcția p(x)=20−0.1xp(x) = 20 - 0.1x, unde xx este numărul de unități vândute. Costul total de producție este C(x)=5x+100C(x) = 5x + 100. Aflați: a) Intervalul de vânzări pentru care firma obține profit. b) Numărul de unități care maximizează profitul și profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea funcției venitului total: V(x)=p(x)⋅x=(20−0.1x)x=20x−0.1x2V(x) = p(x) \cdot x = (20 - 0.1x)x = 20x - 0.1x^2.
22 puncte
Scrierea funcției profitului: P(x)=V(x)−C(x)=(20x−0.1x2)−(5x+100)=−0.1x2+15x−100P(x) = V(x) - C(x) = (20x - 0.1x^2) - (5x + 100) = -0.1x^2 + 15x - 100.
32 puncte
Determinarea intervalului unde P(x)>0P(x) > 0: rezolvarea inecuației −0.1x2+15x−100>0-0.1x^2 + 15x - 100 > 0, care dă x∈(150−5072,150+5072)x \in (\frac{150 - 50\sqrt{7}}{2}, \frac{150 + 50\sqrt{7}}{2}) sau aproximativ x∈(7,143)x \in (7, 143).
42 puncte
Găsirea derivatei P′(x)=−0.2x+15P'(x) = -0.2x + 15 și a punctului critic x=75x = 75.
52 puncte
Verificarea că x=75x=75 este punct de maxim (de exemplu, P′′(x)=−0.2<0P''(x) = -0.2 < 0) și calculul P(75)=−0.1⋅752+15⋅75−100=462.5P(75) = -0.1 \cdot 75^2 + 15 \cdot 75 - 100 = 462.5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.