MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie H={z∈C∣∣z∣=1}H = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (H,⋅)(H, \cdot) este un grup. Apoi, demonstrați că orice subgrup propriu al lui HH este ciclic.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Închiderea: pentru orice z1,z2∈Hz_1, z_2 \in H, ∣z1∣=1|z_1| = 1 și ∣z2∣=1|z_2| = 1, atunci ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣=1|z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = 1, deci z1z2∈Hz_1 z_2 \in H.
21 punct
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea numerelor complexe.
32 puncte
Elementul neutru este 11, cu ∣1∣=1|1| = 1, deci 1∈H1 \in H.
42 puncte
Pentru orice z∈Hz \in H, ∣z∣=1|z| = 1, atunci z−1=1zz^{-1} = \frac{1}{z} și ∣z−1∣=1∣z∣=1|z^{-1}| = \frac{1}{|z|} = 1, deci z−1∈Hz^{-1} \in H.
53 puncte
Fie KK un subgrup propriu al lui HH. Se consideră cel mai mic unghi pozitiv θ\theta astfel încât eiθ∈Ke^{i\theta} \in K. Atunci K={einθ∣n∈Z}K = \{ e^{i n \theta} \mid n \in \mathbb{Z} \}, care este un grup ciclic generat de eiθe^{i\theta}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.