MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡4(y)=4xlog⁡2(y)=64\begin{cases} \log_2(x) + \log_4(y) = 4 \\ x^{\log_2(y)} = 64 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție. Pentru ambele ecuații, se impun x>0x > 0 și y>0y > 0, deoarece logaritmii și exponențialele sunt definite. Deci domeniul comun este x>0x > 0, y>0y > 0.
22 puncte
Simplificarea primei ecuații. Se aduce log⁡4(y)\log_4(y) la baza 2: log⁡4(y)=log⁡2(y)log⁡2(4)=log⁡2(y)2\log_4(y) = \frac{\log_2(y)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(y)}{2}. Atunci prima ecuație devine log⁡2(x)+12log⁡2(y)=4\log_2(x) + \frac{1}{2}\log_2(y) = 4.
32 puncte
Notarea pentru simplificare. Se notează a=log⁡2(x)a = \log_2(x) și b=log⁡2(y)b = \log_2(y). Sistemul devine: {a+12b=42ab=64\begin{cases} a + \frac{1}{2}b = 4 \\ 2^{ab} = 64 \end{cases}, deoarece xlog⁡2(y)=(2a)b=2abx^{\log_2(y)} = (2^a)^b = 2^{ab} și 64=2664 = 2^6, deci ab=6ab = 6.
42 puncte
Rezolvarea sistemului în aa și bb. Din a+12b=4a + \frac{1}{2}b = 4, se obține b=8−2ab = 8 - 2a. Substituind în ab=6ab = 6: a(8−2a)=6a(8 - 2a) = 6, adică 8a−2a2=68a - 2a^2 = 6, deci 2a2−8a+6=02a^2 - 8a + 6 = 0. Împărțind cu 2: a2−4a+3=0a^2 - 4a + 3 = 0, cu soluțiile a=1a=1 sau a=3a=3. Pentru a=1a=1, b=8−2=6b=8-2=6; pentru a=3a=3, b=8−6=2b=8-6=2.
52 puncte
Revenirea la xx și yy. Avem x=2ax = 2^a și y=2by = 2^b. Soluțiile sunt: pentru a=1,b=6a=1, b=6: x=2,y=64x=2, y=64; pentru a=3,b=2a=3, b=2: x=8,y=4x=8, y=4. Se verifică că ambele satisfac domeniul x>0,y>0x>0, y>0. Răspuns final: (x,y)∈{(2,64),(8,4)}(x,y) \in \{ (2,64), (8,4) \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.