MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaGeometrie Analitică
Fie funcția f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a≠0a \neq 0. Graficul funcției este o parabolă care are vârful în punctul V(1,−2)V(1, -2) și trece prin punctul A(0,1)A(0,1). Determinați coeficienții aa, bb, cc și calculați aria triunghiului format de vârful VV și punctele de intersecție ale graficului cu axa OxOx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Coordonatele vârfului unei parabole date de f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c sunt xV=−b2ax_V = -\frac{b}{2a} și yV=f(xV)y_V = f(x_V). Avem xV=1x_V = 1 și yV=−2y_V = -2, deci −b2a=1-\frac{b}{2a} = 1 și a(1)2+b(1)+c=−2a(1)^2 + b(1) + c = -2. Din punctul A(0,1)A(0,1), avem f(0)=c=1f(0) = c = 1. Formăm sistemul: {−b2a=1a+b+c=−2c=1\begin{cases} -\frac{b}{2a} = 1 \\ a + b + c = -2 \\ c = 1 \end{cases}.
23 puncte
Din c=1c=1 și a+b+1=−2a+b+1=-2, avem a+b=−3a+b=-3. Din −b2a=1-\frac{b}{2a}=1, rezultă b=−2ab = -2a. Substituim: a+(−2a)=−3a + (-2a) = -3, deci −a=−3-a = -3, astfel a=3a=3. Atunci b=−2⋅3=−6b = -2 \cdot 3 = -6. Deci, a=3a=3, b=−6b=-6, c=1c=1.
33 puncte
Funcția este f(x)=3x2−6x+1f(x) = 3x^2 -6x +1. Punctele de intersecție cu axa OxOx sunt soluțiile ecuației 3x2−6x+1=03x^2 -6x +1=0. Discriminantul Δ=36−12=24\Delta = 36 - 12 = 24, deci x1,2=6±246=1±63x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}. Punctele sunt B(1−63,0)B(1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, 0) și C(1+63,0)C(1 + \frac{\sqrt{6}}{3}, 0). Triunghiul VBCVBC are baza BCBC de lungime 263\frac{2\sqrt{6}}{3} și înălțimea distanța de la VV la BCBC, care este 22, deci aria este 12⋅263⋅2=263\frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} \cdot 2 = \frac{2\sqrt{6}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.