MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-lea
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=sin⁡2x+msin⁡x+nf(x) = \sin^2 x + m \sin x + n, cu m,n∈Rm, n \in \mathbb{R}. Determinați mm și nn știind că f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, minimul funcției este atins pentru x=π2x = \frac{\pi}{2}, și f(0)=2f(0) = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm t=sin⁡xt = \sin x, cu t∈[−1,1]t \in [-1,1]. Atunci considerăm funcția g(t)=t2+mt+ng(t) = t^2 + m t + n.
23 puncte
Minimul lui ff este atins pentru x=π2x = \frac{\pi}{2}, adică când sin⁡x=1\sin x = 1, deci t=1t=1. În funcția gg, acesta corespunde vârfului, deci −m2=1-\frac{m}{2} = 1, de unde m=−2m = -2.
32 puncte
Din f(0)=2f(0) = 2, avem sin⁡20+msin⁡0+n=n=2\sin^2 0 + m \sin 0 + n = n = 2, deci n=2n = 2.
43 puncte
Verificăm că cu m=−2m = -2 și n=2n = 2, avem g(t)=t2−2t+2g(t) = t^2 - 2t + 2. Pentru t∈[−1,1]t \in [-1,1], valoarea minimă este la t=1t=1, g(1)=1≥0g(1)=1 \geq 0, și g(t)≥0g(t) \geq 0 pe tot intervalul, deci condițiile sunt îndeplinite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.