MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați domeniul de definiție al funcției f(x)=log⁡12(x2−5x+6)f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Stabilim condițiile: argumentul logaritmului trebuie pozitiv, x2−5x+6>0x^2 - 5x + 6 > 0, și expresia de sub radical nenegativă, log⁡12(x2−5x+6)≥0\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) \geq 0.
22 puncte
Rezolvăm x2−5x+6>0x^2 - 5x + 6 > 0: factorizăm (x−2)(x−3)>0(x-2)(x-3) > 0, deci x∈(−∞,2)∪(3,∞)x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty).
33 puncte
Pentru log⁡12(x2−5x+6)≥0\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) \geq 0, cu baza 12∈(0,1)\frac{1}{2} \in (0,1), inegalitatea se inversează: x2−5x+6≤1x^2 - 5x + 6 \leq 1.
42 puncte
Rezolvăm x2−5x+6≤1x^2 - 5x + 6 \leq 1, adică x2−5x+5≤0x^2 - 5x + 5 \leq 0. Discriminantul Δ=25−20=5\Delta = 25 - 20 = 5, rădăcinile 5±52\frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}, deci x∈[5−52,5+52]x \in [\frac{5 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2}].
51 punct
Intersectăm condițiile: din step 2 și step 4, domeniul este x∈[5−52,2)∪(3,5+52]x \in [\frac{5 - \sqrt{5}}{2}, 2) \cup (3, \frac{5 + \sqrt{5}}{2}].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.