MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorFuncția de gradul al II-leaArii și volume
Determinați aria regiunii mărginite de graficele funcțiilor f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 și g(x)=−x2+2x+1g(x) = -x^2 + 2x + 1. Folosiți proprietățile integralelor pentru a calcula integrala diferenței funcțiilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsirea punctelor de intersecție: rezolvăm f(x)=g(x)f(x) = g(x), adică x2−4x+3=−x2+2x+1x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 2x + 1. Simplificând: 2x2−6x+2=02x^2 - 6x + 2 = 0, sau x2−3x+1=0x^2 - 3x + 1 = 0. Soluțiile: x1,2=3±9−42=3±52x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}. Fie a=3−52a = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} și b=3+52b = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}.
22 puncte
Stabilirea funcției diferență: h(x)=f(x)−g(x)=2x2−6x+2h(x) = f(x) - g(x) = 2x^2 - 6x + 2. Pe intervalul [a,b][a,b], h(x)≤0h(x) \le 0 (deoarece rădăcinile sunt aa și bb și coeficientul lui x2x^2 este pozitiv), deci ∣h(x)∣=−h(x)|h(x)| = -h(x). Aria = ∫ab−h(x)dx=−∫abh(x)dx\int_{a}^{b} -h(x) dx = -\int_{a}^{b} h(x) dx, folosind proprietatea de linearitate a integralei.
33 puncte
Calculul integralei: ∫abh(x)dx=∫ab(2x2−6x+2)dx\int_{a}^{b} h(x) dx = \int_{a}^{b} (2x^2 - 6x + 2) dx. Primitiva: 2x33−3x2+2x+C\frac{2x^3}{3} - 3x^2 + 2x + C. Aplicând limitele: [2x33−3x2+2x]ab\left[ \frac{2x^3}{3} - 3x^2 + 2x \right]_{a}^{b}.
42 puncte
Efectuarea calculelor: cu aa și bb date, se obține ∫abh(x)dx=−53\int_{a}^{b} h(x) dx = -\frac{\sqrt{5}}{3}, deci aria = −(−53)=53-\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = \frac{\sqrt{5}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.