MediuDomeniul de definiție al funcțiilorClasa 10

Problemă rezolvată de Domeniul de definiție al funcțiilor

MediuDomeniul de definiție al funcțiilorLogaritmiEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dată de f(x)=log⁡2(x2−4x+3)x−2f(x) = \sqrt{ \frac{\log_2(x^2 - 4x + 3)}{x-2} }.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se scriu condițiile de existență: argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv, adică x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0, iar fracția de sub radical să fie nenegativă, adică log⁡2(x2−4x+3)x−2≥0\frac{\log_2(x^2 - 4x + 3)}{x-2} \geq 0, cu x−2≠0x-2 \neq 0.
23 puncte
Se rezolvă inecuația x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0. Se obține x∈(−∞,1)∪(3,∞)x \in (-\infty,1) \cup (3,\infty).
34 puncte
Se rezolvă inecuația log⁡2(x2−4x+3)x−2≥0\frac{\log_2(x^2 - 4x + 3)}{x-2} \geq 0. Se studiază semnul logaritmului g(x)=log⁡2(x2−4x+3)g(x) = \log_2(x^2 - 4x + 3). g(x)>0g(x) > 0 pentru x2−4x+3>1x^2 - 4x + 3 > 1, adică x∈(−∞,2−2)∪(2+2,∞)x \in (-\infty, 2-\sqrt{2}) \cup (2+\sqrt{2},\infty); g(x)=0g(x) = 0 pentru x=2±2x = 2\pm\sqrt{2}; g(x)<0g(x) < 0 pentru x∈(2−2,2+2)x \in (2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}), excluzând punctele unde x2−4x+3≤0x^2 - 4x + 3 \leq 0, dar conform step 2, luăm doar x<1x<1 sau x>3x>3. Apoi se analizează semnul fracției pe intervalele relevante. Pentru x<1x<1 și x<2x<2, numitorul x−2<0x-2<0, deci fracția este ≥0\geq 0 când g(x)≤0g(x) \leq 0, adică pentru x∈[2−2,1)x \in [2-\sqrt{2},1). Pentru x>3x>3 și x>2x>2, numitorul x−2>0x-2>0, deci fracția este ≥0\geq 0 când g(x)≥0g(x) \geq 0, adică pentru x∈[2+2,∞)x \in [2+\sqrt{2},\infty).
41 punct
Se combină soluțiile: domeniul de definiție este x∈[2−2,1)∪[2+2,∞)x \in [2-\sqrt{2},1) \cup [2+\sqrt{2},\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Domeniul de definiție al funcțiilor

Ușor#1Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=2x−x2y = \sqrt{2x - x^2}.
Mediu#2Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x+1y = \sqrt{x - \sqrt{x + 1}}.
Mediu#3Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−1+6−xy = \sqrt{x - 1 + \sqrt{6 - x}}.
Ușor#4Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−5x+6y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.
Vezi toate problemele de Domeniul de definiție al funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.