MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie RR mulțimea matricelor reale de forma A=(ab0c)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Cu adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor, arătați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel. Este RR comutativ? Determinați centrul inelului RR, adică mulțimea matricelor care comută cu toate matricele din RR.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm că adunarea este internă, asociativă, comutativă, are element neutru matricea zero, și fiecare matrice are opusă.
23 puncte
Verificăm că înmulțirea este internă, asociativă, și că sunt satisfăcute legile distributive.
32 puncte
Arătăm că RR nu este comutativ: de exemplu, pentru A=(1000)A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(0100)B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, avem AB≠BAAB \neq BA.
42 puncte
Centrul inelului RR este format din matricele de forma (x00x)\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} cu x∈Rx \in \mathbb{R}, deoarece acestea comută cu toate matricele din RR.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.