MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu rădăcinile x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 numere complexe. Știind că x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3, x12+x22+x32=5x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 5, și x13+x23+x33=9x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = 9, determinați coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosim identitatea x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3). Din date, avem 5=32−2S25 = 3^2 - 2S_2, deci S2=2S_2 = 2, unde S2=x1x2+x1x3+x2x3S_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3.
23 puncte
Aplicăm identitatea pentru suma cuburilor: x13+x23+x33=(x1+x2+x3)3−3(x1+x2+x3)(x1x2+x1x3+x2x3)+3x1x2x3x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = (x_1 + x_2 + x_3)^3 - 3(x_1 + x_2 + x_3)(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) + 3x_1x_2x_3. Substitutim valorile cunoscute: 9=33−3⋅3⋅2+3S39 = 3^3 - 3 \cdot 3 \cdot 2 + 3S_3, deci 9=27−18+3S39 = 27 - 18 + 3S_3, astfel 3S3=03S_3 = 0, deci S3=0S_3 = 0, unde S3=x1x2x3S_3 = x_1x_2x_3.
34 puncte
Din relațiile lui Vieta pentru polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, avem x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, deci −a=3-a = 3, a=−3a = -3. x1x2+x1x3+x2x3=bx_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = b, deci b=2b = 2. x1x2x3=−cx_1x_2x_3 = -c, deci −c=0-c = 0, c=0c = 0. Astfel, polinomul este P(x)=x3−3x2+2xP(x) = x^3 - 3x^2 + 2x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.